Soit \(A=\begin{pmatrix}-7&12\\ -4&7\end{pmatrix}\) de valeurs propres \(\lambda=1\) et \(\lambda=-1\)
Trouver $$E_1=\ker(A-1\operatorname{Id})$$

Soit \(B=A-1\operatorname{Id}=\begin{pmatrix}-8&12\\ -4&6\end{pmatrix}\)

Séparation de \(B\)
On a donc : $$Be_1=\binom{-8}{-4}\quad\text{ et }\quad Be_2=\binom{12}6$$

\(B\) est bien la matrice d'une application linéaire : $$B(\alpha e_1+\beta e_2)=\alpha Be_1+\beta Be_2$$

Opérations élémentaires sur les vecteurs : $$\begin{align} B\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}-8&12\\ -4&6\end{pmatrix}&c_2\to c_2+\frac32c_1\\ B\begin{pmatrix}1&\frac32\\ 0&1\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}-8&0\\ -4&0\end{pmatrix}\end{align}$$

Le vecteur de la première colonne est indépendant
Puisque \(\operatorname{Rg}(B)=1\), \(\operatorname{dim}\ker B=2-1=1\) d'après le théorème du rang
On a donc $$\ker B=\operatorname{Vect}\binom{\frac32}1=\operatorname{Vect}\binom32$$

(Fonction linéaire, Noyau - Espace nul (algèbre linéaire), Opération élémentaire sur une liste de vecteurs)

Soit \(T\) une application linéaire de \({\Bbb R}^3\) dans \({\Bbb R}^3\) de matrice \(A\) dans la base canonique $$A=\begin{pmatrix}1&2&0\\ 1&3&-1\\ 1&-1&3\end{pmatrix}$$ donner une base de \(\ker T\) et \(\operatorname{Im} T\)

Faire l'algorithme du compagnon jusqu'a ce que la matrice soit "étagée"
On utilise la méthode du compagnon sur les colonnes : $$\begin{align}\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&0&1&0&0\\ 1&3&-1&0&1&0\\ 1&-1&3&0&0&1\end{array}\right)&\iff\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&1&-2&0\\ 1&1&-1&0&1&0\\ 1&-3&3&0&0&1\end{array}\right)&&\begin{array}{}c_2\gets c_2-2c_1\end{array}\\ &\iff\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&3&-2&-2\\ 0&1&0&-1&1&1\\ 4&-3&0&0&0&1\end{array}\right)&&\begin{array}{}c_1\gets c_1-c_2\\ c_3\gets c_3+c_2\end{array}\end{align}$$

Une base de \(\operatorname{Im} T\) est donc \(\operatorname{Vect}\left\{\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 4\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 1\\ -3\end{pmatrix}\right\}\) et une base de \(\ker T\) est donc \(\operatorname{Vect}\begin{pmatrix}-2\\ 1\\ 1\end{pmatrix}\)

(Noyau - Espace nul (algèbre linéaire), Image (algèbre linéaire), Matrice étagée)